블랙홀의 정보 역설 (이과용)
블랙홀 정보 역설 심층 가이드
양자역학과 일반상대성이론의 경계에서 제기된 '블랙홀 정보 역설'을 모든 수식 유도 과정을 포함해 자세히 살펴봅니다.
1. 소개 & 문제 제기
고전적으로 블랙홀은 빛조차 빠져나올 수 없는 천체였으나, 1974년 스티븐 호킹은 블랙홀이 열적 복사를 방출하며 증발할 수 있음을 보였습니다. 이 과정에서 순수 상태(pure state)에서 시작된 계(system)가 최종에는 열적 혼합 상태(mixed state)로 바뀌어, 양자역학의 Unitary 시간 진화가 위배되는 정보 손실 문제가 발생합니다.
2. 곡률 공간 양자장론
2.1 진공 불안정성 (Vacuum Ambiguity)
휘어있는 시공간에서는 서로 다른 관찰자(in, out)가 서로 다른 진공 상태를 정의합니다. 이에 따라 입자 생성/소멸에 대한 해석이 달라지는 현상이 발생합니다.
2.2 보골리우보프 변환 (Bogoliubov Transformation)
두 모드 집합 \(\{u_i\}, \{v_j\}\)이 \[ u_i = \sum_j (\alpha_{ij} v_j + \beta_{ij} v_j^*) \] 관계를 만족할 때, \(\beta_{ij}\neq0\)인 경우 입자가 생성됩니다. 이때 \(|\beta|^2\)가 복사 분포를 결정합니다.
3. 호킹 복사 유도
3.1 슈바르츠실트 계량 & 근사
슈바르츠실트 계량: \[ ds^2 = -\left(1-\frac{2GM}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2d\Omega^2. \]
사건의 지평선 근처(\(r\approx2GM\))에서 tortoise 좌표 \(r_*\)를 도입하여 해를 근사합니다.
3.2 모드 매칭
파동 방정식은 \[ \Bigl(\frac{d^2}{dr_*^2} + \omega^2\Bigr)\phi_\omega(r_*) = 0 \] 형태로 단순화되며, 이를 in/out 모드로 분리하여 Bogoliubov 계수를 계산합니다.
3.3 열 분포 도출
\(\beta\)-계수로부터 \[ n_\omega = |\beta_\omega|^2 = \frac{1}{e^{2\pi\omega/\kappa}-1}, \quad \kappa = \frac{1}{4GM}, \] 따라서 호킹 온도는 \[ T_H = \frac{\kappa}{2\pi} = \frac{1}{8\pi GM}. \]
4. 블랙홀 열역학 & 엔트로피
4.1 유클리드 경로적분
유클리드 시간 \(\tau = i t\)을 도입하고 주기를 \(\beta = 1/T_H\)로 설정하여 다음과 같이 파티션 함수를 정의합니다:
$$ Z(\beta) = \int \mathcal{D}g \; e^{-I_E[g]}, \quad I_E[g] = -\frac{1}{16\pi G} \int d^4x \; \sqrt{g}\; R + \dots $$
여기서 \(g = \det(g_{\mu\nu})\), \(R\)은 Ricci scalar, "\(...\)"는 경계 항 및 추가 유효 작용 항을 나타냅니다.
4.2 자유 에너지 & 엔트로피
자유 에너지 \(F=-T\ln Z\)와 엔트로피 \(S=-\partial_T F\)로부터, \[ S = (1-\beta\partial_\beta)\ln Z \Big|_{\beta=1/T_H} = \frac{A}{4G\hbar}. \]
5. 정보 역설
순수 상태 \(|\Psi_{in}\rangle\langle\Psi_{in}|\)에서 출발한 블랙홀은 최종에 열적 밀도 행렬 \(\rho_{rad}\)만 남기고 소멸합니다: \[ |\Psi_{in}\rangle\langle\Psi_{in}| \;\to\; \rho_{rad} = \sum_i p_i |i\rangle\langle i|. \] 이는 Unitary 보존(\(\rho^2=\rho\))을 위배합니다.
6. 엔트로피 & 복제 트릭
6.1 엔트로피 정의
폰 노이만 엔트로피 \(S(\rho)=-\mathrm{Tr}(\rho\ln\rho)\)은 \(\mathrm{Tr}(\rho^n)\)를 이용해 계산합니다.
6.2 복제 트릭 유도
\[ S = -\lim_{n\to1}\partial_n \mathrm{Tr}(\rho^n). \] 경로적분에서 n-겹 시공간을 도입해 구현합니다。
6.3 페이지 곡선 & 아일랜드 공식
방사선 엔트로피:
\[ S_{rad}(t) = \min_{\mathrm{islands}} \Bigl[\frac{\mathrm{Area}(\partial\mathrm{Island})}{4G} + S_{matter}(Rad \cup Island)\Bigr]. \]
7. 현대적 해법: 홀로그래피 & 웜홀
7.1 AdS/CFT 홀로그래피
경계 CFT가 Unitary하므로, 중력 이론에서도 정보 손실이 없다고 해석합니다。
7.2 복제 웜홀 (Replica Wormholes)
경로적분에 웜홀 기여를 포함하여 Page 곡선을 복원합니다。
7.3 기타 제안
- 블랙홀 상보성 (Black Hole Complementarity)
- 파이어월 역설 (Firewall Paradox)
- ER=EPR 가설
8. 결론 & 전망
정보 역설은 양자역학과 중력의 융합 연구에서 핵심 난제로 남아 있습니다. 홀로그래피, 복제 웜홀, 아일랜드 공식 등 새로운 도구들이 Unitary 회복 경로를 제시하고 있으므로, 향후 양자중력 연구와 우주론적 적용이 더욱 발전할 것입니다。