유클리드 경로 적분

Euclidean Path Integral: 심층 가이드

양자역학과 중력 이론에서 핵심 도구인 Euclidean Path Integral의 원리와 응용을 자세히 다룹니다.

• 1. Introduction
• 2. Path Integral 기본
• 3. Wick Rotation
• 4. Euclidean Action
• 5. 예시: Free Particle & Oscillator
• 6. 중력이론 응용
• 7. 블랙홀 엔트로피 유도
• 8. 결론

1. Introduction

Path Integral는 리처드 파인만이 개발한 양자역학의 대안적 형식으로, 모든 경로의 합을 통해 진화자를 표현합니다. Euclidean Path Integral은 시간 축에 Wick Rotation을 적용해 수렴성을 확보하고, 통계역학과 중력 이론에서도 널리 사용됩니다.

2. Path Integral 기본

2.1 파인만 경로 적분

양자 진폭(amplitude) $K(x_b,t_b;x_a,t_a)$는 모든 경로 $x(t)$에 대한 가중치 $e^{iS[x]/\hslash }$의 적분으로 표현됩니다:

$$K=\int \mathcal{D}x(t)e^{\frac{i}{\hslash }S[x]}.$$

2.2 Measure 정의

경로 적분에서 $\mathcal{D}x(t)$는 시간 분할극한 $N\to \mathrm{\infty }$ 하에서

$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{lim}\prod _{k=1}^{N-1}\frac{d{x}_k}{\sqrt{2\pi i\hslash ϵ}}.$$

3. Wick Rotation

진폭의 수렴을 위해 시간 $t$를 허수 축으로 회전시켜 $t=-i\tau$로 변경합니다. 이때 작용은 $$iS\to -S_E,$$ Euclidean 작용 $S_E$이 정의됩니다.

3.1 회전 과정

$t=-i\tau$ 대입 시

$$S=\int dtL⟶-i{S}_E=-i\int d\tau L_E,$$

여기서 $L_E$는 라그랑지안의 Euclidean 버전입니다.

4. Euclidean Action

일반 라그랑지안 $L=\frac{m}{2}{\dot{x}}^2-V(x)$은 Wick Rotation 후 Euclidean Lagrangian으로 바뀝니다:

$$L_E=\frac{m}{2}{\left(\frac{dx}{d\tau }\right)}^2+V(x).$$

Euclidean 경로 적분은 통계역학의 분배 함수 $Z=\mathrm{Tr}{e}^{-\beta H}$와 형식적으로 동일합니다.

5. 예시: Free Particle & Harmonic Oscillator

5.1 Free Particle

Euclidean 경로 적분으로부터 전달자(propagator):

$$K_E=\sqrt{\frac{m}{2\pi \hslash T}}{e}^{-\frac{m(x_b-x_a{)}^2}{2\hslash T}},$$ $T={\tau }_b-{\tau }_a$.

5.2 Harmonic Oscillator

$V=\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2$일 때:

$$K_E=\sqrt{\frac{m\omega }{2\pi \hslash \sinh (\omega T)}}\exp (-\frac{m\omega }{2\hslash \sinh (\omega T)}[(x_b^2+x_a^2)\cosh (\omega T)-2x_a{x}_b]).$$

6. 중력이론 응용

Euclidean Path Integral은 중력 이론의 경로적분 정의에 사용됩니다. 예를 들어 Gibbons-Hawking 경계항을 포함한 중력 작용을 적분해 열역학적 양을 구합니다.

6.1 Gibbons-Hawking Boundary Term

유클리드 작용:

$$I_E=-\frac{1}{16\pi G}{\int }_M{d}^{4}x\sqrt{g}R-\frac{1}{8\pi G}{\int }_{\partial M}{d}^{3}x\sqrt{h}K.$$

7. 블랙홀 엔트로피 유도

Euclidean 경로적분으로 슈바르츠실트 블랙홀 엔트로피를 유도할 수 있습니다:

$$S=(1-\beta {\partial }_{\beta })\ln Z(\beta ),Z(\beta )=\int \mathcal{D}g{e}^{-I_E[g]}.$$

이를 통해 $S=A/4G\hslash$를 얻습니다.

8. 결론

Euclidean Path Integral은 양자역학부터 중력 열역학까지 광범위하게 사용되는 강력한 도구입니다. Wick Rotation을 통해 수렴성을 확보하고, 다양한 예시와 중력이론 응용을 통해 본질을 이해할 수 있습니다.