공변 미분 (covariant derivative) - 중력장 방정식
공변 미분이란 무엇일까?
공변 미분에 대해서 알기 위해서 일반 미분이 무엇을 나타내는 것인지 집고 갈 필요가 있다.
미분이란 매우 짧은 x동안 y의 변화율이다.
예를 들어보자 :
1. 마라톤을 하고 있는 사람이 뛰다가 지쳐서 점점 속도가 느려지고 있다고 생각해보자
-> 매우 짧은 시간(x)이 흘렀을 때 얼마만큼 이동(y)했는지 : 속도
-> 매우 짧은 시간(x)이 흘렀을 때 얼마만큼 속도(y)가 변했는지 : 가속도
사실 이 글을 볼 수준이면 위의 내용이 필요 없는 사람이 대부분이겠지만 혹시 모르니 남겨둔다.
공변 미분 만들어진 이유
고등학교에서 미분에 대한 수업을 들으면 대부분 x, y축 위에 있는 함수를 미분했을 것이다. (x, y, z축 미분도 존재함)
위의 축들의 공통점은 축이 직선이라는 것이다.
우리 자연에 대입하기엔 굉장히 이상적인 조건이 아닌가?
주위를 둘러보자 대부분 모든 것은 곡률을 가지고 있다.
따라서 수학자, 과학자들은 축이 직선이 아닌 상황에서 함수를 미분하는 방법을 알고 싶었다.
이러한 궁금증으로 공변 미분(covariant derivative)이 나오게 된 것이다.
공변 미분이란? What is covariant derivative?
- 벡터를 미분한 것이다. (성분 & 기저벡터 미분) + 좌표계도 미분
우선 까먹으신 분들이 있을까봐 한 가지만 첨언하고 간다 (공변 미분에 사용될 내용이니 잘 보시길...)
- 물리량은 공변과 반변의 곱으로 나타낼 수 있다.
위는 반변을 기저 벡터로 잡았지만 공변을 기저 벡터로 잡고 싶다면 v와 e의 위치를 바꾸면 된다.
위의 "L"을 상하대칭 시킨 모양은 christoffel symbol이라고 하는데 다음 블로그에 설명이 나오니 그때 보도록 하자!!
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우선 크리스토펠 기호가 무엇인지는 알고 넘어가야하니 잠깐 설명하자면
| christoffel symbol | 우리의 좌표계는 직선이 아니다. 곡률을 가지고 있다. 만약 우리의 좌표계의 축이 직선으로 이루어져 있다면 좌표축위의 벡터들을 평행이동 시킨 뒤 두 벡터를 겹쳤을 때 완전 일치 할 것이다. 하지만 애석하게도 우리의 좌표계는 곡률을 가지고 있고 벡터들을 평행이동 시킨 뒤 겹쳐보면 두 벡터간의 차이가 존재한다. Christoffel symbol은 이 차이를 보정해주는 역할을 한다.  |
그렇다면 위의 내용들을 직관적으로 이해할 수 있을 것이다.
공변미분은 함수만 미분하는 것이 아닌 좌표축도 함께 미분해 값을 보정해주는 역할을 하는 것이라는 것을
공변 미분의 성질
위와 같은 성질을 띄고 있다는 것만 봐두자
사실 설명하고 싶은 내용은 산더미지만 그것을 풀면 그냥 난해하고 이해하기 어려운 블로그 1이 될 것 같아서 여기서 끊도록 하겠다.
이제 이론적인 기본은 모두 끝마쳤다.
이정도만 봐도 다른 블로그보다 더 직관적이고 완벽한 그림을 통한 설명이란 것을 알 것이다.
그림과 글씨 모두 한땀 한땀 작성해서 이해하기 쉽게 예시를 만들어 가고 있으니 좋아요😘 하나 부탁해요...(●'◡'●)
