[1부] 양자컴퓨터 기초 이해

[1부] 양자컴퓨터 기초 이해

이 글에서는 양자컴퓨터의 가장 기본적인 개념을 다룹니다. 고전 컴퓨터와의 차이점을 이해하고, 큐빗(Qubit)의 수학적 정의부터 중첩(Superposition)과 얽힘(Entanglement) 등의 핵심 양자역학 개념까지 차근차근 살펴봅니다. 처음 접하는 분들도 이해할 수 있도록 가능한 한 상세하게 설명하며, 필요할 경우 수식과 도식을 통해 직관을 돕고자 합니다.

1. 고전 컴퓨터와 양자컴퓨터의 차이

1.1 비트(Bit) vs 큐빗(Qubit)

고전 컴퓨터의 기본 단위는 비트(Bit)입니다. 비트는 0 또는 1 중 하나의 값을 가지며, 로직 게이트를 통해 0과 1 사이를 전기 신호로 전환하며 계산을 수행합니다. 반면, 양자컴퓨터의 기본 단위는 큐빗(Qubit)입니다. 큐빗은 양자역학적 입자의 두 가지 상태를 논리값 0, 1로 대응하지만, 고전 비트와 달리 동시에 두 상태를 겹쳐서 존재할 수 있습니다.

구체적으로, 큐빗의 상태는 두 개의 확률 진폭(Complex amplitude) $\alpha$와 $\beta$로 표현됩니다:

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1,\alpha ,\beta \in \mathbb{C}.$$

위 수식에서 $|0⟩$과 $|1⟩$은 큐빗의 기저 상태(Basis state)를 나타내는 케트(ket) 표기법입니다. 두 기저 상태 사이에 확률 진폭 $\alpha ,\beta$가 0이 아닌 값을 가지면, 큐빗은 0과 1을 동시에 중첩(superposition) 상태로 가집니다.

1.2 고전 컴퓨터 계산 패러다임

고전 컴퓨터에서는 비트를 0 또는 1로 분리하여 순차적/병렬적 논리 연산을 수행합니다. 여기서 연산은 AND, OR, NOT, XOR 등 고전적 게이트를 통해 이루어지며, 각각의 게이트는 비트열에 대해 정해진 비트 값을 출력합니다.

예를 들어, 두 비트 $x,y\in \{0,1\}$에 대한 AND 연산은 아래 진리표를 가집니다:

• $x=0,y=0⟶x\wedge y=0$
• $x=0,y=1⟶x\wedge y=0$
• $x=1,y=0⟶x\wedge y=0$
• $x=1,y=1⟶x\wedge y=1$

이처럼 고전 컴퓨터는 명확히 0 혹은 1, 두 가지 상태만을 사용하여 계산을 수행하지만, 양자컴퓨터는 큐빗의 중첩 및 얽힘을 통해 비트가 가질 수 없는 새로운 계산적 능력을 얻습니다.

2. 양자역학 기초

2.1 큐빗(Qubit)의 수학적 정의

큐빗은 2차원 복소수 벡터공간(힐베르트 공간)의 단위 벡터로 정의됩니다. 일반 상태 $|\psi ⟩$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1.$$

여기서 $|0⟩=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),|1⟩=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$입니다. 즉, 큐빗 상태는 복소수 쌍 $(\alpha ,\beta )$로 기술되며, 반드시 정규화($\Vert \psi \Vert =1$)되어야 합니다.

큐빗의 상태는 벡터 공간 상에서 특정 방향을 가리킵니다. 이 벡터는 단위 벡터이기 때문에, 두 실수 각도 $\theta ,\phi$를 사용하여 블로흐 구(Bloch sphere) 위의 점으로 시각화할 수 있습니다. 구면 좌표계로 나타내면:

$$|\psi ⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{i\phi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩,0\le \theta \le \pi ,0\le \phi <2\pi .$$

이 블로흐 구 표현은 큐빗 상태를 3차원 구면 상의 한 점 $(\theta ,\phi )$로 대응하므로, 중첩된 상태를 직관적으로 이해하는 데 매우 유용합니다.

2.2 중첩(Superposition)과 확률 해석

큐빗이 일반 상태 $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$에 있을 때, 실제 측정(measurement)을 수행하면 반드시 기저 상태 $|0⟩$ 혹은 $|1⟩$로 붕괴됩니다. 이때 측정 결과가 $|0⟩$일 확률은 $|\alpha {|}^2$, $|1⟩$일 확률은 $|\beta {|}^2$입니다.

$$P(0)=|\alpha {|}^2,P(1)=|\beta {|}^2,|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1.$$

예를 들어, $\alpha =\beta =\frac{1}{\sqrt{2}}$인 상태 $\frac{1}{\sqrt{2}}|0⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}|1⟩$를 측정하면, $|0⟩$, $|1⟩$ 각각이 나올 확률이 50%씩입니다.

따라서, 큐빗은 측정을 하기 전까지 두 상태를 동시에 표현하며( 중첩), 측정 시에만 하나의 고전적 결과로 확률적으로 결정됩니다.

2.3 블로흐 구(Bloch Sphere)

앞서 언급한 바와 같이, 하나의 큐빗 상태는 두 파라미터 $\theta ,\phi$로 아래와 같이 매개변수화됩니다:

$$|\psi ⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{i\phi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩.$$

이 표현을 사용하면, 큐빗 상태는 3차원 구의 표면 위 한 점으로 시각화할 수 있습니다. 블로흐 구에서 다음 세 가지 특성이 직관적으로 드러납니다:

• $\theta =0$일 때: $|\psi ⟩=|0⟩$ (북극)
• $\theta =\pi$일 때: $|\psi ⟩=|1⟩$ (남극)
• $\theta =\frac{\pi }{2},\phi =0$일 때: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$ (적도 상)

블로흐 구는 큐빗 상태 간의 게이트 연산(예: 회전 연산)이 구 내부 혹은 표면 위의 회전 (Rotation)으로 대응되어 보이기 때문에, 양자게이트를 기하학적으로 이해할 때 매우 편리합니다.

3. 엔탱글먼트(Entanglement)

3.1 얽힌 상태의 정의

큐빗 두 개 이상을 결합한 계(System)에서, 두 큐빗 사이에 얽힘(entanglement)이라는 고유한 양자 상관관계가 나타날 수 있습니다. 얽힌 상태를 이해하기 위해 먼저 두 큐빗을 결합했을 때의 전체 상태 표현을 살펴봅시다.

두 개의 독립적인 큐빗 $A$와 $B$가 각각 상태 $|{\psi }_A⟩={\alpha }_0|0⟩+{\alpha }_1|1⟩$, $|{\psi }_B⟩={\beta }_0|0⟩+{\beta }_1|1⟩$에 놓여 있다면, 전체 상태는 텐서 곱으로:

$$|{\psi }_{AB}⟩=({\alpha }_0|0{⟩}_A+{\alpha }_1|1{⟩}_A)\otimes ({\beta }_0|0{⟩}_B+{\beta }_1|1{⟩}_B).$$

그러나 얽힌 상태(entangled state)는 두 큐빗이 텐서 곱 형태로 분리되지 않는 상태를 말합니다. 즉, 아무런 단일 큐빗 상태 $|{\psi }_A⟩$, $|{\psi }_B⟩$의 곱 형태로 표현할 수 없는 상태입니다.

3.2 벨 상태(Bell State)의 예시

얽힘을 가장 잘 보여주는 대표적인 두 큐빗 상태가 벨 상태(Bell State)입니다. 네 가지 벨 상태는 다음과 같습니다:

$$\begin{array}{rl}|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩),\\ |{\mathrm{\Phi }}^{-}⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩-|11⟩),\\ |{\mathrm{\Psi }}^{+}⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩+|10⟩),\\ |{\mathrm{\Psi }}^{-}⟩& =\frac{1}{\sqrt{2}}(|01⟩-|10⟩).\end{array}$$

예를 들어 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|00⟩+|11⟩)$ 상태를 측정하면, 첫 번째 큐빗과 두 번째 큐빗이 항상 같은 값을 갖습니다. 만약 첫 번째 큐빗을 측정하여 $|0⟩$이 나온다면, 두 번째 큐빗도 반드시 $|0⟩$이며, 반대로 첫 번째 큐빗이 $|1⟩$이라면 두 번째 큐빗도 반드시 $|1⟩$이 됩니다. 이처럼 얽힌 상태에서는 큐빗 간에 즉시적 상관관계가 생깁니다.

3.3 얽힘의 특성 및 응용

• 비지역성(Nonlocality): 얽힌 두 큐빗은 서로 떨어진 거리에도 불구하고 측정 시에 상관관계를 보입니다. 아인슈타인이 “유령 같은 원격 작용”이라 비판했던 특징이기도 합니다.
• 양자 텔레포테이션(Quantum Teleportation): 벨 상태를 이용하면 한 위치의 미지 상태를 다른 위치로 “전송”할 수 있습니다. 이 과정에서 물리적 입자는 이동하지 않으며, 고전적 통신과 얽힘을 결합해 이루어집니다.
• 양자 키 분배(Quantum Key Distribution): 얽힘 및 측정의 불확정성을 이용해 제3자 도청을 방지하는 안전한 암호 키를 생성할 수 있습니다(예: BB84, E91 프로토콜).

4. 양자 상태 표현과 기저 전환

4.1 브라-켓 표기법(Dirac Notation)

양자역학에서는 벡터를 $⟨\varphi |$와 $|\psi ⟩$ 형태로 표기하며, 이들을 브라(⟨ φ |)와 케트(| ψ ⟩)라 부릅니다. 브라-켓 표기법은 내적(inner product)과 외적(outer product) 등을 간결하게 표현할 수 있는 장점을 가집니다.

• $⟨\varphi |\psi ⟩$ : 두 상태 벡터의 내적 (복소수).
• $|\varphi ⟩⟨\psi |$ : 외적(프로젝터 연산자)로, 상태 $|\psi ⟩$를 $|\varphi ⟩$에 사영(project)하는 연산자입니다.

예를 들어, $⟨0|1⟩=0$이고, $⟨0|0⟩=1$입니다. 즉 기저 상태들은 서로 직교(orthonormal)합니다.

4.2 단일 큐빗 게이트 예시 (Hadamard)

단일 큐빗 게이트는 2×2 유니터리(unitary) 행렬로 표현됩니다. 예를 들어, Hadamard(H) 게이트는 다음과 같은 행렬로 주어집니다:

$$H=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

이 게이트를 $|0⟩$에 적용하면 $$H|0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$$ 가 되어 중첩 상태를 형성합니다. 반대로 $|1⟩$에 적용하면 $$H|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩-|1⟩)$$ 가 됩니다.

기저 전환(basis change)의 관점에서 보자면, Hadamard 연산은 Z-기저($\{|0⟩,|1⟩\}$)와 X-기저($\{\frac{|0⟩+|1⟩}{\sqrt{2}},\frac{|0⟩-|1⟩}{\sqrt{2}}\}$) 사이를 전환해 주는 역할을 합니다.

5. 결론 및 요약

지금까지 “양자컴퓨터 기초 이해” 1부에서는 다음과 같은 핵심 개념을 다루었습니다:

• 비트 vs 큐빗: 고전 비트는 0 또는 1만 가지지만, 큐빗은 두 상태의 중첩 상태를 가질 수 있으며 복소수 확률 진폭 $\alpha ,\beta$로 표현됩니다.
• 중첩(Superposition): $\alpha |0⟩+\beta |1⟩$처럼 두 기저 상태를 동시에 가질 수 있으며, 측정 시 확률적으로 하나의 기저 상태로 붕괴됩니다.
• 블로흐 구(Bloch Sphere): 큐빗 상태를 구면 상의 한 점으로 시각화하여 게이트 연산을 구 회전으로 이해할 수 있게 해줍니다.
• 얽힘(Entanglement): 두 개 이상의 큐빗이 텐서 곱 형태로 분리되지 않는 상태로, 얽힌 상태는 고전적 상관관계를 넘어서는 즉시적 상관성을 보여줍니다.
• 브라-켓 표기법: 양자 상태를 $⟨\varphi |$와 $|\psi ⟩$로 표현하며, 유니터리 연산, 내적, 외적 등을 간결하게 다룰 수 있게 해줍니다.

다음 2부에서는 이러한 양자 상태 위에서 작동하는 “양자게이트와 양자회로 설계”에 대해 자세히 다룰 것입니다. 2부를 통해 단일 큐빗 게이트(예: X, Y, Z, Hadamard)와 다중 큐빗 게이트(예: CNOT, CZ, Toffoli 등)의 동작 원리와 간단한 회로 구현 예시를 학습하고, 양자컴퓨팅의 기본적인 계산 모델을 체득하게 될 것입니다.