springfallinlove 님의 블로그

1. 크리스토펠 기호 의미

크리스토펠 기호는 축이 직선이 아니라 곡선인 경우 미분할 때 축의 곡률로 인해 발생하는 오차를 보정해 준다.

아래 그림을 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

(일단 직관적으로 받아드리면 된다.)

이것을 유도했지만 아인슈타인의 목적은 끝나지 않았다.

크리스토펠 기호는 텐서 방정식이 아닌 값을 보정해주는 상수 역할이다.

따라서 공변성을 만족시키기 위해서 크리스토펠 기호를 텐서방정식으로 바꿔 표현할 수 있어야한다.

2. 크리스토펠 기호 유도

완전 식을 암기하는 것 보다는 유도하는 방법을 공부하는 것을 추천한다.

어차피 여러분에게 남는 건 시간 뿐이고 계속 유도하다 보면 언젠간 외우게 되지 않을까요?

torsion free

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공변 미분이란 무엇일까?

공변 미분에 대해서 알기 위해서 일반 미분이 무엇을 나타내는 것인지 집고 갈 필요가 있다.

미분이란 매우 짧은 x동안 y의 변화율이다.

예를 들어보자 :

1. 마라톤을 하고 있는 사람이 뛰다가 지쳐서 점점 속도가 느려지고 있다고 생각해보자

-> 매우 짧은 시간(x)이 흘렀을 때 얼마만큼 이동(y)했는지 : 속도

-> 매우 짧은 시간(x)이 흘렀을 때 얼마만큼 속도(y)가 변했는지 : 가속도

사실 이 글을 볼 수준이면 위의 내용이 필요 없는 사람이 대부분이겠지만 혹시 모르니 남겨둔다.

공변 미분 만들어진 이유

고등학교에서 미분에 대한 수업을 들으면 대부분 x, y축 위에 있는 함수를 미분했을 것이다. (x, y, z축 미분도 존재함)

위의 축들의 공통점은 축이 직선이라는 것이다. 

우리 자연에 대입하기엔 굉장히 이상적인 조건이 아닌가?

주위를 둘러보자 대부분 모든 것은 곡률을 가지고 있다. 

따라서 수학자, 과학자들은 축이 직선이 아닌 상황에서 함수를 미분하는 방법을 알고 싶었다.

이러한 궁금증으로 공변 미분(covariant derivative)이 나오게 된 것이다.

공변 미분이란? What is covariant derivative?

- 벡터를 미분한 것이다. (성분 & 기저벡터 미분) + 좌표계도 미분

우선 까먹으신 분들이 있을까봐 한 가지만 첨언하고 간다 (공변 미분에 사용될 내용이니 잘 보시길...)

• 물리량은 공변과 반변의 곱으로 나타낼 수 있다.

위는 반변을 기저 벡터로 잡았지만 공변을 기저 벡터로 잡고 싶다면 v와 e의 위치를 바꾸면 된다.

위의 "L"을 상하대칭 시킨 모양은 christoffel symbol이라고 하는데 다음 블로그에 설명이 나오니 그때 보도록 하자!!

☆*: .｡. o(≧▽≦)o .｡.:*☆

우선 크리스토펠 기호가 무엇인지는 알고 넘어가야하니 잠깐 설명하자면

christoffel symbol

우리의 좌표계는 직선이 아니다. 곡률을 가지고 있다. 만약 우리의 좌표계의 축이 직선으로 이루어져 있다면 좌표축위의 벡터들을 평행이동 시킨 뒤 두 벡터를 겹쳤을 때 완전 일치 할 것이다. 하지만 애석하게도 우리의 좌표계는 곡률을 가지고 있고 벡터들을 평행이동 시킨 뒤 겹쳐보면 두 벡터간의 차이가 존재한다. Christoffel symbol은 이 차이를 보정해주는 역할을 한다.

그렇다면 위의 내용들을 직관적으로 이해할 수 있을 것이다.

공변미분은 함수만 미분하는 것이 아닌 좌표축도 함께 미분해 값을 보정해주는 역할을 하는 것이라는 것을

공변 미분의 성질

위와 같은 성질을 띄고 있다는 것만 봐두자

사실 설명하고 싶은 내용은 산더미지만 그것을 풀면 그냥 난해하고 이해하기 어려운 블로그 1이 될 것 같아서 여기서 끊도록 하겠다.

이제 이론적인 기본은 모두 끝마쳤다.

이정도만 봐도 다른 블로그보다 더 직관적이고 완벽한 그림을 통한 설명이란 것을 알 것이다.

그림과 글씨 모두 한땀 한땀 작성해서 이해하기 쉽게 예시를 만들어 가고 있으니 좋아요😘 하나 부탁해요...(●'◡'●)

다음 블로그

목차

1. 공변(covariant) & 반변(contravariant)이란?
2. 왜 사용하는가?
3. 쌍대 공간 (dual space)
4. 활용 가능성

1. 공변(covariant) 벡터 & 반변(contravariant) 벡터란?

공변 벡터와 반변 벡터는 기하학적으로 물리적 대상을 기술하는 방법에 있어

기저(basis)가 변화할 때의 변화를 설명한다. 

- 말이 어렵게 느껴질 수 있지만 밑에까지 읽고 온뒤 다시 본다면 이해할 수 있을 것이다. 

covariant에서 co는 기저벡터의 증가에 따라 공변 성분이 같이 증가하기 때문이다.

contravariant에서  contra는 기저벡터의 증가에 따라 반변 성분이 감소하기 때문이다.

◎그림 설명 :

1. contravariant는 기저 벡터가 증가하면 A^2(index) 값이 작아진다.

2. covariant는 기저 벡터가 증가하면 A_2(index) 값이 증가한다.

자 여기까지는 일반 블로그에서 알려주는 공변과 반변에 대한 대략적인 설명이다. 

자 그러면 지금부터 이해할 수 있는 방법에 대해 알아보자~~♪

contravariant vector를 화살표라고 생각하고 covariant  vector를 스텍(grid)이라고 생각해보자

contravariant vector	covariant  vector

"# stacks pierced by vector"은 covariant vector와 contravariant vector가 곱해졌을 때 scalar 값이 된다는

사실을 인지하고 넘어가면 된다. 

위와 같이 예를 들면 굉장히 이해되기 쉬울 것이다. 

ex1) covariant vector는 grid이기 때문에 기저벡터를 늘린다는 뜻은 grid의 칸이 밀해진다는 뜻과 같다. 그렇기에 grid가 밀해지면 통과하는 벡터의 값은 늘어나게 될 것이다. 

ex2) contravariant vector는 여러분이 아시는 그게 맞다. 간단한 예시를 들어보자 (4, 4)의 점이 있다. (기저벡터가 1일 때) 이 때 기저 벡터가 2가 되면 (2, 2)로 옮겨질 것이다. 그렇기 때문에 작아진다. - 너무 당연한 말,,,,

참고로 이 설명을 하는 블로그를 본 적이 없다. 위의 사실을 이해했다면 왠만한 사람보다는 직관적인 의미를 더 확실하게 아는 것이다.

2. 왜 사용하는가?

유감스럽게도 우리 우주는 평평하지 않다. 

한 번쯤 보고 들어봤을 것이다. (행성의 공전을 설명하기 위해 천 위에 무거운 추를 올려놓고 그 주위로 구슬을 굴리는 것을)

이 부분에서 문제가 생긴다. 중력은 시공간의 왜곡을 야기한다.

이로인해 모두의 좌표계가 평평하지 않아 모두가 평평한 좌표계를 사용한다면 어디에서 측정하는가에 따라 값이 달라질 것이다. 

그렇기 때문에 우리가 공변과 반변을 학습하는 것이다. 

** 이해하기 어려운 사람들이 있을까봐!!**

- covariant vector와 contravariant vector가 곱해지면 스칼라가 나온다고 했다. <<위의 그림 참조>>

- (내가 노트북의 길이를 자로 지구에서 측정한 것과 안드로메다 은하에서 측정한 값은 같다.)

- 중요성은 우리가 속한 우주 어느곳에서든 반변과 공변을 이용한다면 똑같은 결과가 도출되게 유도할 수 있다는 뜻이다.

(사실상 위에 설명한 한 줄이 가장 중요하다!!!)

반변과 공변이 무엇인지 궁금했던 사람은 여기까지 보면된다.

3. 쌍대 공간 (dual space)

우선 dual space가 갑자기 뭐냐?? 라는 질문이 생길 수 있다.

사실 dual vector가 covariant다....

원래 공부를 하다보면 하나의 뜻을 굉장히 다양하게 표현하는 것을 볼 수 있을 것이다.

Ex) 하나의 뜻을 다양하게 표현한 예시

지금 여러분이 알아두셔야 할 것 

1. covariant = dual vector

2. contravariant = vector

쌍대공간의 엄밀한 정의

- 벡터 공간 V가 주어지면, 그 위의 쌍대공간 V^*은 V에서 기저 체(스칼라)로 가는 모든 선형 함수들의 집합

(전에 화살표가 grid를 얼마나 꽤뚫는지로 예시를 들어줬는데 그것을 생각하면 된다.)

- 즉, V^*의 원소는 V위의 선형 사상이다.

쌍대곱셈 : 쌍대공간의 원소와 벡터공간의 원소를 곱해 스칼라를 반환하는 연산

여러분 : 아니......tlakf 이게 뭔 ro소리야??

나 : 일단 진정하고 조금만 기다려라

선형사상(linear map)란?

선형사상(linear map)은 두 벡터공간 사이에 정의되는 사상 가운데 벡터공간의 성질을 보존하는, 즉 선형성을 갖는 함수를 말한다. 선형변환(linear transform) 이라고도 한다.

두 벡터공간 V와 W에 대하여 선형사상 f : V -> W 라고 하면,  다음 조건을 만족하는 사상이다.

(벡터 합, 스칼라 곱 조건)

1. 벡터의 합 조건 : f(v_1+v_2) = f(v_1) + f(v_2)

2. 스칼라 곱 조건 : f(cv) = cf(v), 단 c is arbitrary real number

체(Field) 란?

**@@ 헷갈리지 말아라 @@**

이 field는 중력장의 장과는 다른 field다.

**아벨군

교환법칙을 만족하는 군이다. (그냥 교환법칙해도 되는 것들)

쉽게 설명하자면 다음과 같다 덧셈과 곱셈이 모두 가능하고 교환법칙이 성립하는 '것'들이다. (곱셈 부분에서 0은 제외)

환(Ring) 이란? - 궁금한 사람이 있을까봐,, (몰라도 된다.)

4. 활용가능성

1. 모든 곳

말 그대로 안 쓰이는 곳이 없다. 전자기력, 약력, 강력, 중력, 양자역학(spin), 입자물리학, 라그랑주 밀도 등....

다음 챕터는 공변 미분이다.

중력장 방정식을 이해하는 그날까지 화이팅이다!!

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